Desigualdades cuadráticas

Desigualdades cuadráticas

Maxima incluye dos paquetes que tienen la capacidad de resolver desigualdades cuadráticas: $fourier\_elim$ y $solve\_rat\_ineq$

Para resolver una desigualdad cuadrática con $fourier\_elim$ se debe cargar dicho paquete

(%i1)

load(fourier_elim);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad C:/Program\,Files\,(x86)/Maxima-sbcl-5.37.2/share/maxima/5.37.2/share/fourier\_elim/fourier\_elim.lisp\]

La instrucción $fourier\_elim( [eq1], [var1] )$ resuelve la desigualdad cuadrática $eq1$ respecto de la variable $var1$. Ejemplo

(%i2)

fourier_elim([y**2-2*y+1>=0],[y]);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad \mathit{universalset}\]

Un ejemplo más

(%i3)

fourier_elim([2*y^2-y-6>=0],[y]);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [y=-\frac{3}{2}]\mathit{ or }[y=2]\mathit{ or }[2<y]\mathit{ or }[y<-\frac{3}{2}]\]

Hay desigualdades que $fourier\_elim$ no tiene la capacidad de resolver, por ejemplo la desigualdad $2x^2+5>5x+4$

(%i4)

fourier_elim([2*x**2+5>5*x+4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad [2\cdot {{x}^{2}}-5\cdot x+1>0]\]

Hay otro paquete especializado en resolver desigualdades racionales, pero que tambien es capaz de resolver desigualdades como la anterior, $solve\_rat\_ineq$

(%i5)

/*se carga el paquete solve_rat_ineq*/ load(solve_rat_ineq);

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad C:/Program\,Files\,(x86)/Maxima-sbcl-5.37.2/share/maxima/5.37.2/share/solve\_rat\_ineq/solve\_rat\_ineq.mac\]

La instrucción para resolver una desigualdad es $solve\_rat\_ineq(desigualdad)$.

Ejemplo Resolver la desigualdad \[2\cdot {{x}^{2}}+5>5\cdot x+4\]

(%i6)

solve_rat_ineq(2*x**2+5>5*x+4);

\[\mathrm{\tt (\%o6) }\quad [[x<-\frac{\sqrt{17}-5}{4}],[x>\frac{5+\sqrt{17}}{4}]]\]

---

Created with wxMaxima.

Ecuaciones cuadráticas en Maxima

Ecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática, se usa la instrucción $solve(ec1,var1)$, donde $ec1$ es la ecuación cuadrática a resolver y $var1$ la variable con respecto a la cual se resolverá la ecuación cuadrática.

Ejemplo. Resolver la ecuación \[2\cdot {{x}^{2}}-x-3=0\]

(%i1)

solve(2*x**2-x-3=0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad [x=\frac{3}{2},x=-1]\]

otro ejemplo, resolver \[{{x}^{2}}+x=-1\]

(%i2)

solve(x^2+x=-1,x);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{1+\sqrt{3}\cdot i}{2},x=\frac{\sqrt{3}\cdot i-1}{2}]\]

En maxima el símbolo $i$ representa la unidad imaginaria, $\sqrt(-1)$.

Un ejemplo de una ecuación cuadrática con literales. Se resuelve la ecuación con respecto a $x$.

(%i3)

solve(y^2-x^2+5*x+y-6=0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [x=2-y,x=y+3]\]

Si se quiere resolver con respecto a $y$, la instrucción es

(%i4)

solve(y^2-x^2+5*x+y-6=0,y);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad [y=2-x,y=x-3]\]

---

Created with wxMaxima.

Factorización

1 Factorización

Para factorizar una expresión se utiliza la instrucción $factor(expresion)$

Ejemplos de factorizaciones.

(%i1)

factor(x**2-1);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad \left( x-1\right) \cdot \left( x+1\right) \]

(%i2)

factor(x**2+2*x+1);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad {{\left( x+1\right) }^{2}}\]

(%i3)

factor(x**3+8);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \left( x+2\right) \cdot \left( {{x}^{2}}-2\cdot x+4\right) \]

(%i4)

x**6-8, factor;

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad \left( {{x}^{2}}-2\right) \cdot \left( {{x}^{4}}+2\cdot {{x}^{2}}+4\right) \]

---

Created with wxMaxima.

Polinomios: suma, resta, multiplicación y división

1 Suma o resta de polinomios

Por defecto Maxima reduce los términos semejantes, por tanto para sumar o restar polinomios solamente se debe ingresar la suma o resta y maxima realizará la simplificación.

Ejemplo de suma de polinomios

(%i1)

2*x+5*y-3*z+(12*x-15*y+4*z);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad z-10\cdot y+14\cdot x\]

Ejemplo de resta de polinomios

(%i2)

3*x-4*y+2*z-(10*x+5*y-2*z);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad 4\cdot z-9\cdot y-7\cdot x\]

2 Multiplicación de polinomios

Maxima no desarrolla automáticamente el producto de polinomios, sólo queda indicada la multiplicación.

Ejemplo de multiplicación de polinomios

(%i3)

(2*x-4*y+2)*(5*x-3*y);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \left( -4\cdot y+2\cdot x+2\right) \cdot \left( 5\cdot x-3\cdot y\right) \]

Para desarrollar el producto se utiliza la instrucción $expand$. Las siguientes instrucciones son equivalentes.

(%i4)

expand((2*x-4*y+2)*(5*x-3*y));

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad 12\cdot {{y}^{2}}-26\cdot x\cdot y-6\cdot y+10\cdot {{x}^{2}}+10\cdot x\]

(%i5)

(2*x-4*y+2)*(5*x-3*y), expand;

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad 12\cdot {{y}^{2}}-26\cdot x\cdot y-6\cdot y+10\cdot {{x}^{2}}+10\cdot x\]

3 División de polinomios

Para dividir dos polinomios se utiliza la instrucción $divide(dividendo, divisor)$. El resultado es una lista, donde el primer elemento es el cociente de la división y el segundo elemento es el residuo.

Por ejemplo si se desea dividir $4\cdot {{x}^{3}}-12\cdot {{x}^{2}}+19\cdot x-10$ entre $2\cdot x-3$ la instrucción para obtener el cociente y el residuo es:

(%i7)

divide(4*x^3-12*x^2+19*x-10,2*x-3);

\[\mathrm{\tt (\%o7) }\quad [2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+5,5]\]

donde $2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+5$ es el cociente y $5$ el residuo

---

Created with wxMaxima.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de dos o más números

Mínimo común múltiplo

La instrucción para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números es $lcm(a,c,d,\ldots)$.

Ejemplo, el mínimo común múltiplo de $15$, $20$ y $50$ se calcula de la siguiente manera

(%i1)

lcm(15,20,50);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad 300\]

Máximo común divisor

La instrucción para calcular el máximo común divisor de dos números es $gcd(a,b)$.  Maxima solamente calcula el máximo común divisor de dos números. Para calcular el máximo común divisor de tres o más números se debe anidar la instrucción.

Ejemplo: El máximo común divisor de $30$ y $20$

(%i2)

gcd(30,20);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad 10\]

El máximo común divisor de $15$, $20$ y $50$ se obtiene anidando la función $gcd()$

(%i3)

gcd(gcd(15,20),50);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad 5\]

En algunas versiones de maxima es necesario cargar previamente el paquete $functs$ para poder calcular el mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

(%i4)

load(functs);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/simplification/functs.mac\]

---

Created with wxMaxima.

Solución de desigualdades lineales en maxima

Solución de desigualdades lineales en maxima

Para resolver una desigualdad lineal se debe cargar el paquete $fourier\_elim$ de la siguiente manera

(%i1)

load(fourier_elim);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/fourier\_elim/fourier\_elim.lisp\]

La instrucción $fourier\_elim( [eq1], [var1] )$ resuelve la desigualdad lineal $eq1$ respecto de la variable $var1$.

Ejemplo

Resolver la desigualdad \[2\cdot x-6 \leq  5\cdot x+4\]

(%i2)

fourier_elim([2*x-6<=5*x+4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{10}{3}]\mathit{ or }[-\frac{10}{3}<x]\]

por tanto el conjunto solución de la desigualdad es \[-\frac{10}{3} \leq x\]

Otro ejemplo,

Resolver la desigualdad \[-2\cdot x-5>-5\cdot x-4\]

(%i3)

fourier_elim([-2*x-5>-5*x-4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [\frac{1}{3}<x]\]

---

Created with wxMaxima.

Solución de ecuaciones lineales en Maxima

Ecuaciones lineales

Para resolver una ecuación se usa la instrucción $solve(ecuacion,variable)$. Donde $variable$ es con respecto a la cual se va a resolver la ecuación.

Ejemplos de solución de una ecuación lineal

(%i1)

solve(2*x+3=4*x-5,x);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad [x=4]\]

(%i2)

/*Se resuelve la ecuación con respecto a x*/ solve(2*x-2*a=4*x-5,x);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{2\cdot a-5}{2}]\]

(%i3)

/*Se resuelve la ecuación con respecto a la variable a*/ solve(2*x-2*a=4*x-5,a);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [a=-\frac{2\cdot x-5}{2}]\]

---

Created with wxMaxima.