Desigualdades cuadráticas

Desigualdades cuadráticas

Maxima incluye dos paquetes que tienen la capacidad de resolver desigualdades cuadráticas: $fourier\_elim$ y $solve\_rat\_ineq$

Para resolver una desigualdad cuadrática con $fourier\_elim$ se debe cargar dicho paquete

(%i1)

load(fourier_elim);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad C:/Program\,Files\,(x86)/Maxima-sbcl-5.37.2/share/maxima/5.37.2/share/fourier\_elim/fourier\_elim.lisp\]

La instrucción $fourier\_elim( [eq1], [var1] )$ resuelve la desigualdad cuadrática $eq1$ respecto de la variable $var1$. Ejemplo

(%i2)

fourier_elim([y**2-2*y+1>=0],[y]);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad \mathit{universalset}\]

Un ejemplo más

(%i3)

fourier_elim([2*y^2-y-6>=0],[y]);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [y=-\frac{3}{2}]\mathit{ or }[y=2]\mathit{ or }[2<y]\mathit{ or }[y<-\frac{3}{2}]\]

Hay desigualdades que $fourier\_elim$ no tiene la capacidad de resolver, por ejemplo la desigualdad $2x^2+5>5x+4$

(%i4)

fourier_elim([2*x**2+5>5*x+4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad [2\cdot {{x}^{2}}-5\cdot x+1>0]\]

Hay otro paquete especializado en resolver desigualdades racionales, pero que tambien es capaz de resolver desigualdades como la anterior, $solve\_rat\_ineq$

(%i5)

/*se carga el paquete solve_rat_ineq*/ load(solve_rat_ineq);

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad C:/Program\,Files\,(x86)/Maxima-sbcl-5.37.2/share/maxima/5.37.2/share/solve\_rat\_ineq/solve\_rat\_ineq.mac\]

La instrucción para resolver una desigualdad es $solve\_rat\_ineq(desigualdad)$.

Ejemplo Resolver la desigualdad \[2\cdot {{x}^{2}}+5>5\cdot x+4\]

(%i6)

solve_rat_ineq(2*x**2+5>5*x+4);

\[\mathrm{\tt (\%o6) }\quad [[x<-\frac{\sqrt{17}-5}{4}],[x>\frac{5+\sqrt{17}}{4}]]\]

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Ecuaciones cuadráticas en Maxima

Ecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrática, se usa la instrucción $solve(ec1,var1)$, donde $ec1$ es la ecuación cuadrática a resolver y $var1$ la variable con respecto a la cual se resolverá la ecuación cuadrática.

Ejemplo. Resolver la ecuación \[2\cdot {{x}^{2}}-x-3=0\]

(%i1)

solve(2*x**2-x-3=0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad [x=\frac{3}{2},x=-1]\]

otro ejemplo, resolver \[{{x}^{2}}+x=-1\]

(%i2)

solve(x^2+x=-1,x);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{1+\sqrt{3}\cdot i}{2},x=\frac{\sqrt{3}\cdot i-1}{2}]\]

En maxima el símbolo $i$ representa la unidad imaginaria, $\sqrt(-1)$.

Un ejemplo de una ecuación cuadrática con literales. Se resuelve la ecuación con respecto a $x$.

(%i3)

solve(y^2-x^2+5*x+y-6=0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [x=2-y,x=y+3]\]

Si se quiere resolver con respecto a $y$, la instrucción es

(%i4)

solve(y^2-x^2+5*x+y-6=0,y);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad [y=2-x,y=x-3]\]

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Factorización

1 Factorización

Para factorizar una expresión se utiliza la instrucción $factor(expresion)$

Ejemplos de factorizaciones.

(%i1)

factor(x**2-1);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad \left( x-1\right) \cdot \left( x+1\right) \]

(%i2)

factor(x**2+2*x+1);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad {{\left( x+1\right) }^{2}}\]

(%i3)

factor(x**3+8);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \left( x+2\right) \cdot \left( {{x}^{2}}-2\cdot x+4\right) \]

(%i4)

x**6-8, factor;

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad \left( {{x}^{2}}-2\right) \cdot \left( {{x}^{4}}+2\cdot {{x}^{2}}+4\right) \]

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Polinomios: suma, resta, multiplicación y división

1 Suma o resta de polinomios

Por defecto Maxima reduce los términos semejantes, por tanto para sumar o restar polinomios solamente se debe ingresar la suma o resta y maxima realizará la simplificación.

Ejemplo de suma de polinomios

(%i1)

2*x+5*y-3*z+(12*x-15*y+4*z);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad z-10\cdot y+14\cdot x\]

Ejemplo de resta de polinomios

(%i2)

3*x-4*y+2*z-(10*x+5*y-2*z);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad 4\cdot z-9\cdot y-7\cdot x\]

2 Multiplicación de polinomios

Maxima no desarrolla automáticamente el producto de polinomios, sólo queda indicada la multiplicación.

Ejemplo de multiplicación de polinomios

(%i3)

(2*x-4*y+2)*(5*x-3*y);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \left( -4\cdot y+2\cdot x+2\right) \cdot \left( 5\cdot x-3\cdot y\right) \]

Para desarrollar el producto se utiliza la instrucción $expand$. Las siguientes instrucciones son equivalentes.

(%i4)

expand((2*x-4*y+2)*(5*x-3*y));

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad 12\cdot {{y}^{2}}-26\cdot x\cdot y-6\cdot y+10\cdot {{x}^{2}}+10\cdot x\]

(%i5)

(2*x-4*y+2)*(5*x-3*y), expand;

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad 12\cdot {{y}^{2}}-26\cdot x\cdot y-6\cdot y+10\cdot {{x}^{2}}+10\cdot x\]

3 División de polinomios

Para dividir dos polinomios se utiliza la instrucción $divide(dividendo, divisor)$. El resultado es una lista, donde el primer elemento es el cociente de la división y el segundo elemento es el residuo.

Por ejemplo si se desea dividir $4\cdot {{x}^{3}}-12\cdot {{x}^{2}}+19\cdot x-10$ entre $2\cdot x-3$ la instrucción para obtener el cociente y el residuo es:

(%i7)

divide(4*x^3-12*x^2+19*x-10,2*x-3);

\[\mathrm{\tt (\%o7) }\quad [2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+5,5]\]

donde $2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+5$ es el cociente y $5$ el residuo

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Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de dos o más números

Mínimo común múltiplo

La instrucción para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números es $lcm(a,c,d,\ldots)$.

Ejemplo, el mínimo común múltiplo de $15$, $20$ y $50$ se calcula de la siguiente manera

(%i1)

lcm(15,20,50);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad 300\]

Máximo común divisor

La instrucción para calcular el máximo común divisor de dos números es $gcd(a,b)$.  Maxima solamente calcula el máximo común divisor de dos números. Para calcular el máximo común divisor de tres o más números se debe anidar la instrucción.

Ejemplo: El máximo común divisor de $30$ y $20$

(%i2)

gcd(30,20);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad 10\]

El máximo común divisor de $15$, $20$ y $50$ se obtiene anidando la función $gcd()$

(%i3)

gcd(gcd(15,20),50);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad 5\]

En algunas versiones de maxima es necesario cargar previamente el paquete $functs$ para poder calcular el mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

(%i4)

load(functs);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/simplification/functs.mac\]

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Solución de desigualdades lineales en maxima

Solución de desigualdades lineales en maxima

Para resolver una desigualdad lineal se debe cargar el paquete $fourier\_elim$ de la siguiente manera

(%i1)

load(fourier_elim);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/fourier\_elim/fourier\_elim.lisp\]

La instrucción $fourier\_elim( [eq1], [var1] )$ resuelve la desigualdad lineal $eq1$ respecto de la variable $var1$.

Ejemplo

Resolver la desigualdad \[2\cdot x-6 \leq  5\cdot x+4\]

(%i2)

fourier_elim([2*x-6<=5*x+4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{10}{3}]\mathit{ or }[-\frac{10}{3}<x]\]

por tanto el conjunto solución de la desigualdad es \[-\frac{10}{3} \leq x\]

Otro ejemplo,

Resolver la desigualdad \[-2\cdot x-5>-5\cdot x-4\]

(%i3)

fourier_elim([-2*x-5>-5*x-4],[x]);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [\frac{1}{3}<x]\]

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Solución de ecuaciones lineales en Maxima

Ecuaciones lineales

Para resolver una ecuación se usa la instrucción $solve(ecuacion,variable)$. Donde $variable$ es con respecto a la cual se va a resolver la ecuación.

Ejemplos de solución de una ecuación lineal

(%i1)

solve(2*x+3=4*x-5,x);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad [x=4]\]

(%i2)

/*Se resuelve la ecuación con respecto a x*/ solve(2*x-2*a=4*x-5,x);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad [x=-\frac{2\cdot a-5}{2}]\]

(%i3)

/*Se resuelve la ecuación con respecto a la variable a*/ solve(2*x-2*a=4*x-5,a);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad [a=-\frac{2\cdot x-5}{2}]\]

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Máximos y mínimos de una función

Valores máximos y mínimos de una función

Ejemplo.

Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, identificar los puntos críticos y determinar los valores máximos y mínimos de la función $f\left(x\right)=4\,x^3+3\,x^2-6\,x$

(%i85)

f(x):=4*x**3+3*x**2-6*x;

\[\mathrm{\tt (\%o85) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=4\cdot {{x}^{3}}+3\cdot {{x}^{2}}-6\cdot x\]

Intervalos de crecimiento. Los intervalos en los cuáles ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}>0$

(%i86)

load(solve_rat_ineq);

\[\mathrm{\tt (\%o86) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/solve\_rat\_ineq/solve\_rat\_ineq.mac\]

(%i87)

solve_rat_ineq(diff(f(x),x)>0);

\[\mathrm{\tt (\%o87) }\quad [[x<-1],[x>\frac{1}{2}]]\]

Intervalos de decrecimiento. Los intervalos en los cuáles ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}<0$

(%i88)

solve_rat_ineq(diff(f(x),x)<0);

\[\mathrm{\tt (\%o88) }\quad [[x>-1,x<\frac{1}{2}]]\]

Valores críticos. Los valores de $x$ para los cuales ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}=0$

(%i89)

vc0:solve(diff(f(x),x)=0);

\[\mathrm{\tt (\%o89) }\quad [x=\frac{1}{2},x=-1]\]

Considerando el criterio de la primera derivada, se puede concluir que en $x=-1$ hay un valor máximo de $f(x)$; en $x={{1}\over{2}}$ hay un valor mínimo de $f(x)$.

El valor mínimo es

(%i90)

f(rhs(vc0[1]));

\[\mathrm{\tt (\%o90) }\quad -\frac{7}{4}\]

El valor máximo es

(%i91)

f(rhs(vc0[2]));

\[\mathrm{\tt (\%o91) }\quad 5\]

Utilizando el criterio de la segunda derivada,

La segunda derivada de la función es

(%i92)

'diff('f(x),x,2)=diff(f(x),x,2);

\[\mathrm{\tt (\%o92) }\quad \frac{{{d}^{2}}}{d\,{{x}^{2}}}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =24\cdot x+6\]

Se evalúa la segunda derivada en cada valor crítico

En

(%i93)

vc0[1];

\[\mathrm{\tt (\%o93) }\quad x=\frac{1}{2}\]

la segunda derivada es

(%i94)

at(diff(f(x),x,2),vc0[1]);

\[\mathrm{\tt (\%o94) }\quad 18\]

por lo tanto en $x={{1}\over{2}}$ hay un valor mínimo

En

(%i95)

vc0[2];

\[\mathrm{\tt (\%o95) }\quad x=-1\]

vale

(%i96)

at(diff(f(x),x,2),vc0[2]);

\[\mathrm{\tt (\%o96) }\quad -18\]

por lo tanto en $x=-1$ hay un valor máximo

Segunda Derivada

Segunda derivada

(%i81)

f(x):=(x**2+5)**3;

\[\mathrm{\tt (\%o81) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{\left( {{x}^{2}}+5\right) }^{3}}\]

(%i82)

'diff('f(x),x,2)=diff(f(x),x,2);

\[\mathrm{\tt (\%o82) }\quad \frac{{{d}^{2}}}{d\,{{x}^{2}}}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =6\cdot {{\left( {{x}^{2}}+5\right) }^{2}}+24\cdot {{x}^{2}}\cdot \left( {{x}^{2}}+5\right) \]

se puede simplificar agregando $ratsimp$

(%i83)

'diff('f(x),x,2)=diff(f(x),x,2),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o83) }\quad \frac{{{d}^{2}}}{d\,{{x}^{2}}}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =30\cdot {{x}^{4}}+180\cdot {{x}^{2}}+150\]

Tercera derivada

(%i84)

'diff('f(x),x,3)=diff(f(x),x,3),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o84) }\quad \frac{{{d}^{3}}}{d\,{{x}^{3}}}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =120\cdot {{x}^{3}}+360\cdot x\]

Derivación implícita en Maxima

Derivación implícita

Ejemplo

Calcular ${{d\,y}\over{d\,x}}$ para $y^2-x\,y+x^3=4$

Para derivar implícitamente en maxima se hace lo siguiente

Se indica que la variable $y$ es función de $x$

(%i75)

depends(y,x);

\[\mathrm{\tt (\%o75) }\quad [\mathrm{y}\left( x\right) ]\]

Se ingresa la ecuación

(%i76)

ec0:x**3-x*y+y**2=4;

\[\mathrm{\tt (\%o76) }\quad {{y}^{2}}-x\cdot y+{{x}^{3}}=4\]

Se obtiene la derivada con respecto a la variable $x$

(%i77)

ec1:diff(ec0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o77) }\quad 2\cdot y\cdot \left( \frac{d}{d\,x}\cdot y\right) -x\cdot \left( \frac{d}{d\,x}\cdot y\right) -y+3\cdot {{x}^{2}}=0\]

Se resuelve la ecuación anterior con respecto a ${{d\,y}\over{d\,x}}$

(%i78)

solve(ec1,'diff(y,x));

\[\mathrm{\tt (\%o78) }\quad [\frac{d}{d\,x}\cdot y=\frac{y-3\cdot {{x}^{2}}}{2\cdot y-x}]\]

El resultado anterior esta en formato de lista, si se desea extraer el único elemento de esa lista, la derivada, se agrega $[1]$ al final de la instrucción anterior

(%i79)

solve(ec1,'diff(y,x))[1];

\[\mathrm{\tt (\%o79) }\quad \frac{d}{d\,x}\cdot y=\frac{y-3\cdot {{x}^{2}}}{2\cdot y-x}\]

Para borrar la dependencia de $y$ de $x$

(%i80)

remove(y, dependency);

\[\mathrm{\tt (\%o80) }\quad \mathit{done}\]

Derivada de una función

Derivada de una función

La instrucción para calcular la derivada de una función con respecto a una variable es $diff(funcion,variable)$

Ejemplo

Calcular la derivada de la función $$f\left(x\right)=3\,x^2-2\,x-1$$

(%i70)

f(x):=3*x**2-2*x-1;

\[\mathrm{\tt (\%o70) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=3\cdot {{x}^{2}}-2\cdot x-1\]

(%i71)

diff(f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o71) }\quad 6\cdot x-2\]

Otra forma de presentar el resultado es el siguiente utilizando el operador comilla simple

(%i72)

'diff('f(x),x)=diff(f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o72) }\quad \frac{d}{d\,x}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =6\cdot x-2\]

Ejemplo

Calcular la derivada de la función $$f\left(x\right)=\sin \sqrt{x^3+3\,x}$$

(%i73)

f(x):=sin(sqrt(x**3+3*x));

\[\mathrm{\tt (\%o73) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\mathrm{sin}\left( \sqrt{{{x}^{3}}+3\cdot x}\right) \]

(%i74)

'diff('f(x),x)=diff(f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o74) }\quad \frac{d}{d\,x}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =\frac{\left( 3\cdot {{x}^{2}}+3\right) \cdot \mathrm{cos}\left( \sqrt{{{x}^{3}}+3\cdot x}\right) }{2\cdot \sqrt{{{x}^{3}}+3\cdot x}}\]

Continuidad de una función

3 Continuidad de una función

Ejemplo. Determinar si la función $$f\left(x\right)=x^2-1$$ es continua en el punto $a=2$

(%i67)

f(x):=x**2-1;

\[\mathrm{\tt (\%o67) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{2}}-1\]

Directamente se puede determinar la continuidad con la siguiente instrucción

(%i68)

is(limit(f(x),x,2)=f(2));

\[\mathrm{\tt (\%o68) }\quad \mbox{true}\]

Ejemplo. Determinar si la función $$f\left(x\right)={{x^3-8}\over{x-2}}$$ es continua en el punto $a=2$

(%i69)

f(x):=(x**3-8)/(x-2);

\[\mathrm{\tt (\%o69) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}\]

Directamente se puede determinar la continuidad con la siguiente instrucción $$is(limit(f(x),x,2)=f(2));$$ En este caso, al ejecutarla, aparece un mensaje de error, dado que la función no está definida en $x=2$.

Si se muestra un error indica que la función no está definida en el punto dado. Por lo tanto la función no es continua en ese valor.

Límite lateral de una función

Ejemplo. Límites laterales

Límite por la derecha

Calcular el límite por la derecha $$\lim_{x\downarrow 2}{5-x^2}$$

(%i61)

f(x):=5-x**2;

\[\mathrm{\tt (\%o61) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=5-{{x}^{2}}\]

Una forma

(%i62)

limit(f(x),x,2,plus);

\[\mathrm{\tt (\%o62) }\quad 1\]

Otra forma

(%i63)

'limit(f(x),x,2,plus)=limit(f(x),x,2,plus);

\[\mathrm{\tt (\%o63) }\quad \lim_{x\to 2+}{5-{{x}^{2}}}=1\]

Límite por la izquierda

Calcular el límite por la izquierda $$\lim_{x\uparrow 2}{2\,x-3}$$

(%i64)

f(x):=2*x-3;

\[\mathrm{\tt (\%o64) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=2\cdot x-3\]

Una forma

(%i65)

limit(f(x),x,2,minus);

\[\mathrm{\tt (\%o65) }\quad 1\]

Otra forma

(%i66)

'limit(f(x),x,2,minus)=limit(f(x),x,2,minus);

\[\mathrm{\tt (\%o66) }\quad \lim_{x\to 2-}{2\cdot x-3}=1\]

Límite de una función en el infinito, $\infty$

Ejemplo. Límite en el infinito

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow \infty }{{{4-3\,x+2\,x^2}\over{-1+2\,x+6\,x^2}}}$$

(%i58)

f(x):=(2*x**2-3*x+4)/(6*x**2+2*x-1);

\[\mathrm{\tt (\%o58) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}\]

Ya definida la función, para calcular directamente el límite la instrucción es

(%i59)

'limit(f(x),x,inf);

\[\mathrm{\tt (\%o59) }\quad \lim_{x\to \infty }{\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}}= \frac{1}{3}\]

o también

(%i60)

'limit(f(x),x,inf)=limit(f(x),x,inf);

\[\mathrm{\tt (\%o60) }\quad \lim_{x\to \infty }{\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}}=\frac{1}{3}\]

Límite de una función con radicales

Ejemplo. Límite de una función que contiene radicales

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow 9}{{{x-9}\over{\sqrt{x}-3}}}$$

Solución:

Directamente

(%i53)

limit((x-9)/(sqrt(x)-3),x,9);

\[\mathrm{\tt (\%o53) }\quad 6\]

Detalladamente, en este caso,  se usa la instrucción $radcan(expresion)$ para simplificar la función

(%i57)

/*se define la funcion*/ f(x):=(x-9)/(sqrt(x)-3)$ /*se asigna el limite sin evaluar a la variable lim0*/ lim0:'limit(f(x),x,9)$ /*se simplifica el limite*/ lim0=radcan(lim0); /*se evalua el limite*/ lim0=''''lim0;

\[\mathrm{\tt (\%o56) }\quad \lim_{x\to 9}{\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}}=\lim_{x\to 9}{\sqrt{x}+3}\]\[\mathrm{\tt (\%o57) }\quad \lim_{x\to 9}{\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}}=6\]

Límite de una función racional

Ejemplo. Límite de una función racional

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow -2}{{{4-x^2}\over{x+2}}}$$

Solución:

Para calcular el límite directamente la instrucción es

(%i45)

limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o45) }\quad 4\]

Otra forma de presentar el resultado utilizando el operador comilla simple ' que evita la evaluación de la función que le precede, en este caso del límite.

(%i46)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o46) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Una forma más detallada de presentar este límite utiliza la instrucción $ratsimp(expresion)$ para simplificar la función a la que se le desea calcular el límite

(%i48)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=ratsimp('limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)); 'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o47) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o48) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Las instrucciónes anteriores se pueden realizar de forma más simple como

(%i52)

/*se define la funcion*/ f(x):=(4-x**2)/(x+2)$ /*se asigna el limite sin evaluar a la variable lim0*/ lim0:'limit(f(x),x,-2)$ /*se simplifica el limite*/ lim0=ratsimp(lim0); /*se evalua el limite*/ lim0=''''lim0;

\[\mathrm{\tt (\%o51) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o52) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Límite de una función

Límite de una función

Calcular el límite de la siguiente función en $x=3$

(%i40)

f(x):=(x-3)/(x**2-9);

\[\mathrm{\tt (\%o40) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}\]

utilizando valores cercanos al valor que tiende el límite

Solución:

Valores cercanos a $3$, pero menores que $3$

(%i41)

x1:makelist(3-1/(10.0**j),j,makelist(i,i,1,10));

\[\mathrm{\tt (\%o41) }\quad [2.9,2.99,2.999,2.9999,2.99999,2.999999,2.9999999,2.99999999,2.999999999,2.9999999999]\]

se evalua la función en cada valor de $x$

(%i42)

f(x1);

\[\mathrm{\tt (\%o42) }\quad [0.169491525423729,0.1669449081802998,0.1666944490748497,0.1666694444907246,0.1666669444424632,0.1666666944469185,0.1666666693805452,0.1666666666666666,0.1666666666666666,0.1666666666666666]\]

Valores cercanos a $3$, pero mayores que $3$

(%i43)

x2:makelist(3+1/(10.0**j),j,makelist(i,i,1,10));

\[\mathrm{\tt (\%o43) }\quad [3.1,3.01,3.001,3.0001,3.00001,3.000001,3.0000001,3.00000001,3.000000001,3.0000000001]\]

se evalua la función en cada valor de $x$

(%i44)

f(x2);

\[\mathrm{\tt (\%o44) }\quad [0.163934426229508,0.1663893510815314,0.1666388935177431,0.1666638889352013,0.166666388891796,0.166666638886424,0.1666666639527882,0.1666666666666666,0.1666666666666666,0.1666666666666666]\]

De acuerdo con los resultados anteriores $$\lim_{x\rightarrow 3}{{{x-3}\over{x^2-9}}}=0.16666\cdots$$

Función Inversa

Función inversa

Encontrar la función inversa de la siguiente función

(%i34)

f(x):=1/(2*x+3);

\[\mathrm{\tt (\%o34) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{1}{2\cdot x+3}\]

Solución:

Se iguala $y=f(x)$ y se despeja $x$

(%i35)

solve(y=f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o35) }\quad [x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}]\]

el resultado aparece en formato de lista, para obtener el elemento dentro de $[]$, se agrega la opción $[1]$ al final de la instrucción anterior. El resultado se puede asignar a una variable, por ejemplo $fi$

(%i36)

fi:solve(y=f(x),x)[1];

\[\mathrm{\tt (\%o36) }\quad x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

Con el resultado anterior se puede definir la función inversa $f\_i$ de la siguiente manera

(%i37)

define(f_i(y),rhs(fi));

\[\mathrm{\tt (\%o37) }\quad \mathrm{f\_i}\left( y\right) :=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

donde la instrucción $rhs(ecuacion)$ extrae el lado derecho de $ecuacion$

Para comprobar que el resultado es correcto se verifica que $(f \circ f^{-1})(x)=x$

(%i38)

f(f_i(x));

\[\mathrm{\tt (\%o38) }\quad \frac{1}{3-\frac{3\cdot x-1}{x}}\]

para simplificar, se usa ratsimp

(%i39)

f(f_i(x)),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o39) }\quad x\]

Simetría de funciones

Simetría de funciones

Ejemplo. Determinar si la siguiente función es par o impar

(%i28)

f(x):=x**4-3*x**2+4;

\[\mathrm{\tt (\%o28) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{4}}-3\cdot {{x}^{2}}+4\]

Solución: Si $f(x)=f(-x)$ la función es par, si $f(x)=-f(x)$ la función es impar

se puede determinar directamente de la siguiente manera

(%i29)

is(f(-x)=f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o29) }\quad \mbox{true}\]

(%i30)

is(f(x)=-f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o30) }\quad \mbox{false}\]

como $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ la función es par.

Ejemplo. Determinar si la siguiente función es par o impar

(%i31)

f(x):=x**5-3*x**3;

\[\mathrm{\tt (\%o31) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{5}}-3\cdot {{x}^{3}}\]

Solución:

(%i32)

is(f(-x)=f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o32) }\quad \mbox{false}\]

(%i33)

is(f(x)=-f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o33) }\quad \mbox{false}\]

como $f\left(-x\right) \neq f\left(x\right)$ y $f\left(-x\right) \neq -f\left(x\right)$ la función no es  par ni impar.

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones

Suma de funciones

Ejemplo. Dadas las siguientes funciones

(%i10)

f(x):=(x-1)/(x+3); g(x):=1/x;

\[\mathrm{\tt (\%o9) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{x-1}{x+3}\]\[\mathrm{\tt (\%o10) }\quad \mathrm{g}\left( x\right) :=\frac{1}{x}\]

La suma de $f$ y $g$ se calcula de la siguiente manera

(%i11)

f(x)+g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o11) }\quad \frac{x-1}{x+3}+\frac{1}{x}\]

Para simplificar la expresión anterior se puede usar la instrucción $ratsimp$. Hay dos formas de utilizarla

(%i12)

ratsimp(f(x)+g(x));

\[\mathrm{\tt (\%o12) }\quad \frac{{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

(%i13)

f(x)+g(x), ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o13) }\quad \frac{{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

El producto de $f$ y $g$ se calcula de la siguiente manera

(%i14)

f(x)*g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o14) }\quad \frac{x-1}{x\cdot \left( x+3\right) }\]

con ratsimp

(%i15)

f(x)*g(x),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o15) }\quad \frac{x-1}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

La división de $f$ y $g$,

(%i16)

f(x)/g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o16) }\quad \frac{\left( x-1\right) \cdot x}{x+3}\]

con ratsimp

(%i17)

f(x)/g(x),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o17) }\quad \frac{{{x}^{2}}-x}{x+3}\]

Composisión de funciones

Ejemplo. Para calcular $f \circ g$ la instrucción es

(%i18)

f(g(x));

\[\mathrm{\tt (\%o18) }\quad \frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+3}\]

se simplifica con ratsimp

(%i19)

ratsimp(f(g(x)));

\[\mathrm{\tt (\%o19) }\quad -\frac{x-1}{3\cdot x+1}\]

Ejemplo. $f \circ f$

(%i20)

f(f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o20) }\quad \frac{\frac{x-1}{x+3}-1}{\frac{x-1}{x+3}+3}\]

simplificando

(%i21)

ratsimp(f(f(x)));

\[\mathrm{\tt (\%o21) }\quad -\frac{1}{x+2}\]

Ejemplo. Para las siguientes funciones calcular $(f \circ g)(4)$

(%i23)

f(x):=3*x**2-4*x; g(x):=2*x-5;

\[\mathrm{\tt (\%o22) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=3\cdot {{x}^{2}}-4\cdot x\]\[\mathrm{\tt (\%o23) }\quad \mathrm{g}\left( x\right) :=2\cdot x-5\]

Se puede realizar de varias maneras, todas son equivalentes

(%i24)

f(g(4));

\[\mathrm{\tt (\%o24) }\quad 15\]

(%i25)

f(g(x)),x=4;

\[\mathrm{\tt (\%o25) }\quad 15\]

(%i26)

at(f(g(x)),x=4);

\[\mathrm{\tt (\%o26) }\quad 15\]

(%i27)

ev(f(g(x)),x=4);

\[\mathrm{\tt (\%o27) }\quad 15\]