Función Inversa

Función inversa

Encontrar la función inversa de la siguiente función

(%i34)

f(x):=1/(2*x+3);

\[\mathrm{\tt (\%o34) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{1}{2\cdot x+3}\]

Solución:

Se iguala $y=f(x)$ y se despeja $x$

(%i35)

solve(y=f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o35) }\quad [x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}]\]

el resultado aparece en formato de lista, para obtener el elemento dentro de $[]$, se agrega la opción $[1]$ al final de la instrucción anterior. El resultado se puede asignar a una variable, por ejemplo $fi$

(%i36)

fi:solve(y=f(x),x)[1];

\[\mathrm{\tt (\%o36) }\quad x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

Con el resultado anterior se puede definir la función inversa $f\_i$ de la siguiente manera

(%i37)

define(f_i(y),rhs(fi));

\[\mathrm{\tt (\%o37) }\quad \mathrm{f\_i}\left( y\right) :=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

donde la instrucción $rhs(ecuacion)$ extrae el lado derecho de $ecuacion$

Para comprobar que el resultado es correcto se verifica que $(f \circ f^{-1})(x)=x$

(%i38)

f(f_i(x));

\[\mathrm{\tt (\%o38) }\quad \frac{1}{3-\frac{3\cdot x-1}{x}}\]

para simplificar, se usa ratsimp

(%i39)

f(f_i(x)),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o39) }\quad x\]