Continuidad de una función

3 Continuidad de una función

Ejemplo. Determinar si la función $$f\left(x\right)=x^2-1$$ es continua en el punto $a=2$

(%i67)

f(x):=x**2-1;

\[\mathrm{\tt (\%o67) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{2}}-1\]

Directamente se puede determinar la continuidad con la siguiente instrucción

(%i68)

is(limit(f(x),x,2)=f(2));

\[\mathrm{\tt (\%o68) }\quad \mbox{true}\]

Ejemplo. Determinar si la función $$f\left(x\right)={{x^3-8}\over{x-2}}$$ es continua en el punto $a=2$

(%i69)

f(x):=(x**3-8)/(x-2);

\[\mathrm{\tt (\%o69) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}\]

Directamente se puede determinar la continuidad con la siguiente instrucción $$is(limit(f(x),x,2)=f(2));$$ En este caso, al ejecutarla, aparece un mensaje de error, dado que la función no está definida en $x=2$.

Si se muestra un error indica que la función no está definida en el punto dado. Por lo tanto la función no es continua en ese valor.

Límite de una función racional

Ejemplo. Límite de una función racional

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow -2}{{{4-x^2}\over{x+2}}}$$

Solución:

Para calcular el límite directamente la instrucción es

(%i45)

limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o45) }\quad 4\]

Otra forma de presentar el resultado utilizando el operador comilla simple ' que evita la evaluación de la función que le precede, en este caso del límite.

(%i46)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o46) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Una forma más detallada de presentar este límite utiliza la instrucción $ratsimp(expresion)$ para simplificar la función a la que se le desea calcular el límite

(%i48)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=ratsimp('limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)); 'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o47) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o48) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Las instrucciónes anteriores se pueden realizar de forma más simple como

(%i52)

/*se define la funcion*/ f(x):=(4-x**2)/(x+2)$ /*se asigna el limite sin evaluar a la variable lim0*/ lim0:'limit(f(x),x,-2)$ /*se simplifica el limite*/ lim0=ratsimp(lim0); /*se evalua el limite*/ lim0=''''lim0;

\[\mathrm{\tt (\%o51) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o52) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Función Inversa

Función inversa

Encontrar la función inversa de la siguiente función

(%i34)

f(x):=1/(2*x+3);

\[\mathrm{\tt (\%o34) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{1}{2\cdot x+3}\]

Solución:

Se iguala $y=f(x)$ y se despeja $x$

(%i35)

solve(y=f(x),x);

\[\mathrm{\tt (\%o35) }\quad [x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}]\]

el resultado aparece en formato de lista, para obtener el elemento dentro de $[]$, se agrega la opción $[1]$ al final de la instrucción anterior. El resultado se puede asignar a una variable, por ejemplo $fi$

(%i36)

fi:solve(y=f(x),x)[1];

\[\mathrm{\tt (\%o36) }\quad x=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

Con el resultado anterior se puede definir la función inversa $f\_i$ de la siguiente manera

(%i37)

define(f_i(y),rhs(fi));

\[\mathrm{\tt (\%o37) }\quad \mathrm{f\_i}\left( y\right) :=-\frac{3\cdot y-1}{2\cdot y}\]

donde la instrucción $rhs(ecuacion)$ extrae el lado derecho de $ecuacion$

Para comprobar que el resultado es correcto se verifica que $(f \circ f^{-1})(x)=x$

(%i38)

f(f_i(x));

\[\mathrm{\tt (\%o38) }\quad \frac{1}{3-\frac{3\cdot x-1}{x}}\]

para simplificar, se usa ratsimp

(%i39)

f(f_i(x)),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o39) }\quad x\]

Simetría de funciones

Simetría de funciones

Ejemplo. Determinar si la siguiente función es par o impar

(%i28)

f(x):=x**4-3*x**2+4;

\[\mathrm{\tt (\%o28) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{4}}-3\cdot {{x}^{2}}+4\]

Solución: Si $f(x)=f(-x)$ la función es par, si $f(x)=-f(x)$ la función es impar

se puede determinar directamente de la siguiente manera

(%i29)

is(f(-x)=f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o29) }\quad \mbox{true}\]

(%i30)

is(f(x)=-f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o30) }\quad \mbox{false}\]

como $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ la función es par.

Ejemplo. Determinar si la siguiente función es par o impar

(%i31)

f(x):=x**5-3*x**3;

\[\mathrm{\tt (\%o31) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :={{x}^{5}}-3\cdot {{x}^{3}}\]

Solución:

(%i32)

is(f(-x)=f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o32) }\quad \mbox{false}\]

(%i33)

is(f(x)=-f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o33) }\quad \mbox{false}\]

como $f\left(-x\right) \neq f\left(x\right)$ y $f\left(-x\right) \neq -f\left(x\right)$ la función no es  par ni impar.

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones

Suma de funciones

Ejemplo. Dadas las siguientes funciones

(%i10)

f(x):=(x-1)/(x+3); g(x):=1/x;

\[\mathrm{\tt (\%o9) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{x-1}{x+3}\]\[\mathrm{\tt (\%o10) }\quad \mathrm{g}\left( x\right) :=\frac{1}{x}\]

La suma de $f$ y $g$ se calcula de la siguiente manera

(%i11)

f(x)+g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o11) }\quad \frac{x-1}{x+3}+\frac{1}{x}\]

Para simplificar la expresión anterior se puede usar la instrucción $ratsimp$. Hay dos formas de utilizarla

(%i12)

ratsimp(f(x)+g(x));

\[\mathrm{\tt (\%o12) }\quad \frac{{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

(%i13)

f(x)+g(x), ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o13) }\quad \frac{{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

El producto de $f$ y $g$ se calcula de la siguiente manera

(%i14)

f(x)*g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o14) }\quad \frac{x-1}{x\cdot \left( x+3\right) }\]

con ratsimp

(%i15)

f(x)*g(x),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o15) }\quad \frac{x-1}{{{x}^{2}}+3\cdot x}\]

La división de $f$ y $g$,

(%i16)

f(x)/g(x);

\[\mathrm{\tt (\%o16) }\quad \frac{\left( x-1\right) \cdot x}{x+3}\]

con ratsimp

(%i17)

f(x)/g(x),ratsimp;

\[\mathrm{\tt (\%o17) }\quad \frac{{{x}^{2}}-x}{x+3}\]

Composisión de funciones

Ejemplo. Para calcular $f \circ g$ la instrucción es

(%i18)

f(g(x));

\[\mathrm{\tt (\%o18) }\quad \frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+3}\]

se simplifica con ratsimp

(%i19)

ratsimp(f(g(x)));

\[\mathrm{\tt (\%o19) }\quad -\frac{x-1}{3\cdot x+1}\]

Ejemplo. $f \circ f$

(%i20)

f(f(x));

\[\mathrm{\tt (\%o20) }\quad \frac{\frac{x-1}{x+3}-1}{\frac{x-1}{x+3}+3}\]

simplificando

(%i21)

ratsimp(f(f(x)));

\[\mathrm{\tt (\%o21) }\quad -\frac{1}{x+2}\]

Ejemplo. Para las siguientes funciones calcular $(f \circ g)(4)$

(%i23)

f(x):=3*x**2-4*x; g(x):=2*x-5;

\[\mathrm{\tt (\%o22) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=3\cdot {{x}^{2}}-4\cdot x\]\[\mathrm{\tt (\%o23) }\quad \mathrm{g}\left( x\right) :=2\cdot x-5\]

Se puede realizar de varias maneras, todas son equivalentes

(%i24)

f(g(4));

\[\mathrm{\tt (\%o24) }\quad 15\]

(%i25)

f(g(x)),x=4;

\[\mathrm{\tt (\%o25) }\quad 15\]

(%i26)

at(f(g(x)),x=4);

\[\mathrm{\tt (\%o26) }\quad 15\]

(%i27)

ev(f(g(x)),x=4);

\[\mathrm{\tt (\%o27) }\quad 15\]

Función y Valor de una función

Funciones

En Maxima se pueden definir funciones mediante el operador $:=$

Ejemplos

(%i1)

f(x):=(x**2-1)/(x+3);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+3}\]

(%i2)

g(x):=sin(x**2);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad \mathrm{g}\left( x\right) :=\mathrm{sin}\left( {{x}^{2}}\right) \]

(%i3)

h(z):=sqrt(z**2-4);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \mathrm{h}\left( z\right) :=\sqrt{{{z}^{2}}-4}\]

Para borrar la definicion de una función se utiliza la instruccón $remfunction(nombre-funcion)$

Ejemplo. Para borrar la función $h(z)$

(%i4)

remfunction(h);

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad [h]\]

Valor de una función

El valor de una función es el valor que toma dicha función cuando se asigna a $x$ un determinado valor.

Ejemplo. Dada la función

(%i5)

f(x):=x/(x-3);

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{x}{x-3}\]

calcular $f(-4)$

(%i6)

f(-4);

\[\mathrm{\tt (\%o6) }\quad \frac{4}{7}\]

calcular $f(0)$

(%i7)

f(0);

\[\mathrm{\tt (\%o7) }\quad 0\]

calcular $f(x+h)$

(%i8)

f(x+h);

\[\mathrm{\tt (\%o8) }\quad \frac{x+h}{x+h-3}\]