Límite lateral de una función

Ejemplo. Límites laterales

Límite por la derecha

Calcular el límite por la derecha $$\lim_{x\downarrow 2}{5-x^2}$$

(%i61)

f(x):=5-x**2;

\[\mathrm{\tt (\%o61) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=5-{{x}^{2}}\]

Una forma

(%i62)

limit(f(x),x,2,plus);

\[\mathrm{\tt (\%o62) }\quad 1\]

Otra forma

(%i63)

'limit(f(x),x,2,plus)=limit(f(x),x,2,plus);

\[\mathrm{\tt (\%o63) }\quad \lim_{x\to 2+}{5-{{x}^{2}}}=1\]

Límite por la izquierda

Calcular el límite por la izquierda $$\lim_{x\uparrow 2}{2\,x-3}$$

(%i64)

f(x):=2*x-3;

\[\mathrm{\tt (\%o64) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=2\cdot x-3\]

Una forma

(%i65)

limit(f(x),x,2,minus);

\[\mathrm{\tt (\%o65) }\quad 1\]

Otra forma

(%i66)

'limit(f(x),x,2,minus)=limit(f(x),x,2,minus);

\[\mathrm{\tt (\%o66) }\quad \lim_{x\to 2-}{2\cdot x-3}=1\]

Límite de una función en el infinito, $\infty$

Ejemplo. Límite en el infinito

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow \infty }{{{4-3\,x+2\,x^2}\over{-1+2\,x+6\,x^2}}}$$

(%i58)

f(x):=(2*x**2-3*x+4)/(6*x**2+2*x-1);

\[\mathrm{\tt (\%o58) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}\]

Ya definida la función, para calcular directamente el límite la instrucción es

(%i59)

'limit(f(x),x,inf);

\[\mathrm{\tt (\%o59) }\quad \lim_{x\to \infty }{\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}}= \frac{1}{3}\]

o también

(%i60)

'limit(f(x),x,inf)=limit(f(x),x,inf);

\[\mathrm{\tt (\%o60) }\quad \lim_{x\to \infty }{\frac{2\cdot {{x}^{2}}-3\cdot x+4}{6\cdot {{x}^{2}}+2\cdot x-1}}=\frac{1}{3}\]

Límite de una función con radicales

Ejemplo. Límite de una función que contiene radicales

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow 9}{{{x-9}\over{\sqrt{x}-3}}}$$

Solución:

Directamente

(%i53)

limit((x-9)/(sqrt(x)-3),x,9);

\[\mathrm{\tt (\%o53) }\quad 6\]

Detalladamente, en este caso,  se usa la instrucción $radcan(expresion)$ para simplificar la función

(%i57)

/*se define la funcion*/ f(x):=(x-9)/(sqrt(x)-3)$ /*se asigna el limite sin evaluar a la variable lim0*/ lim0:'limit(f(x),x,9)$ /*se simplifica el limite*/ lim0=radcan(lim0); /*se evalua el limite*/ lim0=''''lim0;

\[\mathrm{\tt (\%o56) }\quad \lim_{x\to 9}{\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}}=\lim_{x\to 9}{\sqrt{x}+3}\]\[\mathrm{\tt (\%o57) }\quad \lim_{x\to 9}{\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}}=6\]

Límite de una función racional

Ejemplo. Límite de una función racional

Calcular el siguiente límite $$\lim_{x\rightarrow -2}{{{4-x^2}\over{x+2}}}$$

Solución:

Para calcular el límite directamente la instrucción es

(%i45)

limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o45) }\quad 4\]

Otra forma de presentar el resultado utilizando el operador comilla simple ' que evita la evaluación de la función que le precede, en este caso del límite.

(%i46)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o46) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Una forma más detallada de presentar este límite utiliza la instrucción $ratsimp(expresion)$ para simplificar la función a la que se le desea calcular el límite

(%i48)

'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=ratsimp('limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)); 'limit((4-x**2)/(x+2),x,-2)=limit((4-x**2)/(x+2),x,-2);

\[\mathrm{\tt (\%o47) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o48) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Las instrucciónes anteriores se pueden realizar de forma más simple como

(%i52)

/*se define la funcion*/ f(x):=(4-x**2)/(x+2)$ /*se asigna el limite sin evaluar a la variable lim0*/ lim0:'limit(f(x),x,-2)$ /*se simplifica el limite*/ lim0=ratsimp(lim0); /*se evalua el limite*/ lim0=''''lim0;

\[\mathrm{\tt (\%o51) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=\lim_{x\to -2}{2-x}\]\[\mathrm{\tt (\%o52) }\quad \lim_{x\to -2}{\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}}=4\]

Límite de una función

Límite de una función

Calcular el límite de la siguiente función en $x=3$

(%i40)

f(x):=(x-3)/(x**2-9);

\[\mathrm{\tt (\%o40) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}\]

utilizando valores cercanos al valor que tiende el límite

Solución:

Valores cercanos a $3$, pero menores que $3$

(%i41)

x1:makelist(3-1/(10.0**j),j,makelist(i,i,1,10));

\[\mathrm{\tt (\%o41) }\quad [2.9,2.99,2.999,2.9999,2.99999,2.999999,2.9999999,2.99999999,2.999999999,2.9999999999]\]

se evalua la función en cada valor de $x$

(%i42)

f(x1);

\[\mathrm{\tt (\%o42) }\quad [0.169491525423729,0.1669449081802998,0.1666944490748497,0.1666694444907246,0.1666669444424632,0.1666666944469185,0.1666666693805452,0.1666666666666666,0.1666666666666666,0.1666666666666666]\]

Valores cercanos a $3$, pero mayores que $3$

(%i43)

x2:makelist(3+1/(10.0**j),j,makelist(i,i,1,10));

\[\mathrm{\tt (\%o43) }\quad [3.1,3.01,3.001,3.0001,3.00001,3.000001,3.0000001,3.00000001,3.000000001,3.0000000001]\]

se evalua la función en cada valor de $x$

(%i44)

f(x2);

\[\mathrm{\tt (\%o44) }\quad [0.163934426229508,0.1663893510815314,0.1666388935177431,0.1666638889352013,0.166666388891796,0.166666638886424,0.1666666639527882,0.1666666666666666,0.1666666666666666,0.1666666666666666]\]

De acuerdo con los resultados anteriores $$\lim_{x\rightarrow 3}{{{x-3}\over{x^2-9}}}=0.16666\cdots$$