Máximos y mínimos de una función

Valores máximos y mínimos de una función

Ejemplo.

Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, identificar los puntos críticos y determinar los valores máximos y mínimos de la función $f\left(x\right)=4\,x^3+3\,x^2-6\,x$

(%i85)

f(x):=4*x**3+3*x**2-6*x;

\[\mathrm{\tt (\%o85) }\quad \mathrm{f}\left( x\right) :=4\cdot {{x}^{3}}+3\cdot {{x}^{2}}-6\cdot x\]

Intervalos de crecimiento. Los intervalos en los cuáles ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}>0$

(%i86)

load(solve_rat_ineq);

\[\mathrm{\tt (\%o86) }\quad C:/Program\,Files/Maxima-gcl-5.37.3/share/maxima/5.37.3/share/solve\_rat\_ineq/solve\_rat\_ineq.mac\]

(%i87)

solve_rat_ineq(diff(f(x),x)>0);

\[\mathrm{\tt (\%o87) }\quad [[x<-1],[x>\frac{1}{2}]]\]

Intervalos de decrecimiento. Los intervalos en los cuáles ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}<0$

(%i88)

solve_rat_ineq(diff(f(x),x)<0);

\[\mathrm{\tt (\%o88) }\quad [[x>-1,x<\frac{1}{2}]]\]

Valores críticos. Los valores de $x$ para los cuales ${{d\,f\left(x\right)}\over{d\,x}}=0$

(%i89)

vc0:solve(diff(f(x),x)=0);

\[\mathrm{\tt (\%o89) }\quad [x=\frac{1}{2},x=-1]\]

Considerando el criterio de la primera derivada, se puede concluir que en $x=-1$ hay un valor máximo de $f(x)$; en $x={{1}\over{2}}$ hay un valor mínimo de $f(x)$.

El valor mínimo es

(%i90)

f(rhs(vc0[1]));

\[\mathrm{\tt (\%o90) }\quad -\frac{7}{4}\]

El valor máximo es

(%i91)

f(rhs(vc0[2]));

\[\mathrm{\tt (\%o91) }\quad 5\]

Utilizando el criterio de la segunda derivada,

La segunda derivada de la función es

(%i92)

'diff('f(x),x,2)=diff(f(x),x,2);

\[\mathrm{\tt (\%o92) }\quad \frac{{{d}^{2}}}{d\,{{x}^{2}}}\cdot \mathrm{f}\left( x\right) =24\cdot x+6\]

Se evalúa la segunda derivada en cada valor crítico

En

(%i93)

vc0[1];

\[\mathrm{\tt (\%o93) }\quad x=\frac{1}{2}\]

la segunda derivada es

(%i94)

at(diff(f(x),x,2),vc0[1]);

\[\mathrm{\tt (\%o94) }\quad 18\]

por lo tanto en $x={{1}\over{2}}$ hay un valor mínimo

En

(%i95)

vc0[2];

\[\mathrm{\tt (\%o95) }\quad x=-1\]

vale

(%i96)

at(diff(f(x),x,2),vc0[2]);

\[\mathrm{\tt (\%o96) }\quad -18\]

por lo tanto en $x=-1$ hay un valor máximo